纵横图

 

　　将从1至n²的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的 n个数的和都等于，称这样的排列为n阶的纵横图,亦称n阶幻方。

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　　中国东汉末年郑玄(129～200)注《易纬·乾凿度》：“太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”而得九宫数,即三阶幻方（图1）。西魏北周卢辯注《礼记·明堂篇》“二、九、四、七、五、三、六、一、八”有法龟文之说，后周甄鸾注《数术记遗》云：“九宫者，二、十为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”亦与龟文之说暗合。古人在龟甲或骨上用火灼出窝槽，爆见吉祥之兆，有时这种窝槽的排列有了某种特殊的意义，令人惊异，于是成为世代相传的神话。可见，九宫图由来已久。
　　南宋杨辉《续古摘奇算法》(1275)卷一始有“纵横图”之名，其中给出了三至十阶的幻方及其变体共十三种。
　　元代安西王府旧址（今西安市郊）曾出土至元十五年(1278)阿拉伯学者扎马鲁丁为安西王推算历法期间所制作的“东阿拉伯系统”数码的铁制六阶幻方（1956年出土，（见彩图）。上海浦东陆家嘴明嘉靖陆深墓中也发现元代玉质可佩挂的四阶幻方（1980年出土）。
　　明王文素《算学宝鉴》(1524)载纵横图多种。程大位《算法统宗》(1592)卷十七载纵横图14种，及清方中通《数度衍》(1661)卷首之一“九九图说”后附纵横图14种，与杨辉所著《续古摘奇算法》中所载纵横图大同小异。
　　张潮 (1650～?)《心斋杂俎》卷下“算法图补”增补纵横图若干种。梅瑴成《增删算法统宗》(1760)淘汰有关河图洛书及纵横图的内容之后，纵横图存在约有一百多年。
　　清初、传教士传入《三三等数图》列三至十阶纵横图八种，并指出作图方法。英国人傅兰雅主编的《格致汇编》(1878)载有四阶纵横图（图2）,此即1514年A.度勒所刻十六字方图。欧洲研求纵横图造法始自14世纪。中国人杜亚泉(1872～1933)等从1900年起论及纵横图的造法，但多沿用西说。
　　纵横图现在仍然是组合数学研究的课题，广义幻方、幻体、双随机矩阵等都由它推广而来。探讨中国纵横图发展的悠久历程是组合数学前史的重要内容，日益受到国内外数学史界的重视。